The Summation Convention 爱因斯坦求和约定

爱因斯坦求和约定将 \(i\) 同时出现在上标和下标时的情况约定为对 \(i\) 进行求和，极大地简化了求和的和式。

​        \(\boldsymbol{u}=\sum_{i=1}^n u_i\boldsymbol{g}^i=u_i\boldsymbol{g}^i\)

{% asset_img Einstein.JPG Albert Einstein %}

内积

​    \(\boldsymbol{u}=\sum_{i=1}^n u_i\boldsymbol{g}^i=u_i\boldsymbol{g}^i\)

​    \(\boldsymbol{v}=\sum_{j=1}^n v_j\boldsymbol{g}^j=v_j\boldsymbol{g}^j\)

​    \(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^n u_i\boldsymbol{g}^i\cdot\sum_{j=1}^n v_j\boldsymbol{g}^j=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_j\boldsymbol{g}^i\cdot\boldsymbol{g}^j=u_iv_j\boldsymbol{g}^i\cdot\boldsymbol{g}^j\)

这样看来\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\)的结果非常复杂，\(n=3\)时写出来是：

\(u_1v_1\boldsymbol{g}^1\cdot\boldsymbol{g}^1+u_1v_2\boldsymbol{g}^1\cdot\boldsymbol{g}^2+u_1v_3\boldsymbol{g}^1\cdot\boldsymbol{g}^3+u_2v_1\boldsymbol{g}^2\cdot\boldsymbol{g}^1+u_2v_2\boldsymbol{g}^2\cdot\boldsymbol{g}^2+u_2v_3\boldsymbol{g}^2\cdot\boldsymbol{g}^3+u_3v_1\boldsymbol{g}^3\cdot\boldsymbol{g}^1+u_3v_2\boldsymbol{g}^3\cdot\boldsymbol{g}^2+u_3v_3\boldsymbol{g}^3\cdot\boldsymbol{g}^3\)

仅仅到这里并不能展现出爱因斯坦求和约定的威力，为此我们还需要引入另一组基\(\boldsymbol{g}_1,\boldsymbol{g}_2,...,\boldsymbol{g}_n\)。

在这组新的基下，原先的坐标用上标来表示 \(\boldsymbol{u}=u^i\boldsymbol{g}_i\) .

这一组基并不是任意的，而是满足\(\boldsymbol{g}_i\boldsymbol{g}^j=\delta_i^j\) ，其中 \(\delta_i^j\) 是Kronecker函数，当 \(i=j\) 时 \(\delta_i^j=1\)；当 $ij $ 时， \(\delta_i^j=0\) .

在给定一组基 \(\boldsymbol{g}^1,\boldsymbol{g}^2,...,\boldsymbol{g}^n\) 的条件下，我们可以通过线性代数的方法求解出 \(\boldsymbol{g}_1,\boldsymbol{g}_2,...,\boldsymbol{g}_n\)

设 \(G=\begin{bmatrix}\boldsymbol{g}^1,\boldsymbol{g}^2,...,\boldsymbol{g}^n\end{bmatrix}\)，则\(\boldsymbol{g}_j^TG=e_j\)，故把\(\boldsymbol{g}_1^T,\boldsymbol{g}_2^T,...,\boldsymbol{g}_n^T\)作为矩阵的行向量，可以发现这个矩阵就是\(G^{-1}\)，因为\(G^{-1}G=I_n\).

现在来看\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\)，不把\(\boldsymbol{v}\)写成\(\boldsymbol{v}=\sum_{j=1}^n v_j\boldsymbol{g}^j=v_j\boldsymbol{g}^j\)，而换成新找到的一组基\(\boldsymbol{v} =v^j\boldsymbol{g}_j\)

于是\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=u_iv^j\boldsymbol{g}^i\boldsymbol{g}_j=u_iv^i\)，内积的结果就被很简单的表达出来了。

类似地也有：\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=u^iv_j\boldsymbol{g}_i\boldsymbol{g}^j=u^iv_i\)

外积

三维空间中，可以选取一组基\(\boldsymbol{g}^1,\boldsymbol{g}^2,\boldsymbol{g}^3\).

​    \(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})_k\boldsymbol{g}^k\) 其中，\((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})_k\)指的是在基\(\boldsymbol{g}^k\)下的坐标。

代入\(\boldsymbol{u}=u_i\boldsymbol{g}^i，\boldsymbol{v}=v_j\boldsymbol{g}^j\) 后，

​    \(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})_k\boldsymbol{g}^k=u_iv_j(\boldsymbol{g}^i\times\boldsymbol{g}^j)\cdot\boldsymbol{g}^k\) 

定义Jacobian行列式为\((\boldsymbol{g}^1\times\boldsymbol{g}^2)\cdot\boldsymbol{g}^3=J\)

和Levi-Civita符号\(\epsilon_{ijk}=J(-1)^{\tau(ijk)}\)

可以发现\(\epsilon_{ijk}=(\boldsymbol{g}^i \times\boldsymbol{g}^j)\cdot\boldsymbol{g}^k\)

于是\((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})_k=u_iv_j\epsilon_{ijk}\) ，可以得到由此三维矢量的外积公式。

三重积

三维情形下的Levi-Civita符号有如下关系：

​    \(\epsilon_{pqr}\epsilon^{ijk}=\begin{vmatrix}\delta_p^i&\delta_q^i&\delta_r^i\\ \delta_p^j&\delta_q^j&\delta_r^j\\ \delta_p^k&\delta_q^k&\delta_r^k\end{vmatrix}\)

当取定 \(r=k\) 时，上式变为\(\epsilon_{pqk}\epsilon^{ijk}=\delta_p^i\delta_q^j-\delta_p^j\delta_q^i\)

对于三重积 \((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w})-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w})\) ，只需要求解在上指标或者下指标下的坐标就可以证明。

为此，先计算\((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})^{k}\)，再计算\(((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{w})_p\) 令 \(r=k\) 就能得出结论了。

​    \((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})^{k}=(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{g}^k=u_iv_j\epsilon^{ijk}\)

​    \(\begin{aligned}((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{w})_p&=((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{w})\cdot \boldsymbol{g}_p\\&=(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})^rw^q\cdot(\boldsymbol{g}_r\times\boldsymbol{g}_q)\cdot\boldsymbol{g}_p\\&=(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})^rw^q\cdot\epsilon_{rqp}\\&=u_iv_j\epsilon^{ijk}w^q\epsilon_{kqp}-u_iv_j\epsilon^{ijk}w^q\epsilon_{pqk}\\&=-u_iv_jw^q(\delta_p^i\delta_q^j-\delta_q^i\delta_p^j)\\&=u_iv_jw^q\delta_q^i\delta_p^j-u_iv_jw^q\delta_p^i\delta_q^j\\&=u_iw^iv_p-u_pv_iw^i\end{aligned}\)

这样我们就得到了\((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w})-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w})\)