回归

找了一周bug还是没有发现，无奈重开 ### 一道高数题

\[ 已知f(x)=0在区间[a,b]上有n个根(可以是重根)\ 求证：f^{(n-1)}(x)=0\ 在[a,b]上至少有1个根 \]

引理：

​ 设\(x_0\)是\(f(x)=0\)的\(k\)重根，则\(f^{(i)}(x_0)=0\ (i=0,1,...,k-1)\)

证明：

可设\(f(x)=(x-x_0)^k*g(x)\),由莱布尼茨公式得，\(f^{(k-1)}(x)=\Sigma_{i=0}^{k-1}C_{k-1}^{i}[(x-x_0)^k]^{(i)}[g(x)]^{(k-1-i)}\)代入\(x=x_0\)得，\(f^{(k-1)}(x_0)=0\).同理，对\(i=0,1,...,k-1\)都有\(f^{(i)}(x_0)=0.\)

证明1

​ 当\(n=1\)时显然成立。下面用数学归纳法证明： ​ 假设\(n=k\)时成立，即\(f^{(k-1)}(x)=0\)在\([a,b]\)上至少有一个根 ​ 当\(n=k+1\)时，要证明\(f^{(k)}(x)=0\)在\([a,b]\)上至少有一个根,只需证\(f'(x)\)在\([a,b]\)上至少有\(k\)个根即可. 若\(f(x)\)有\(r\)个不同实根，那么可以设\(f(x)\)的根分别为\(x_1,x_2,...,x_r.\)由于\(f(x_1)=f(x_2)=...=f(x_r)=0\),至少存在一个点\(\xi_j \in (x_j,x_{j+1})\)使得\(f'(\xi_j)=0.\)共得到至少\(r-1\)个零点。设单根共有\(t\)个，则不妨把单根表示为\(x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_t}.\)则\(f(x)\)可表示为 \(f(x)=(x-x_{i_1})(x-x_{i_2})...(x-x_{i_t})g(x)\)所以\(f'(x)\)必然存在零点\(k-t\)个.因为显然有\(r\geq t\),故\(f'(x)\)至少有\((r-1)+(k+1-t)\geq k\)个零点.

证明2：

加强命题，设\(f(x)=0\)在\([a,b]\)上有\(n\)个根，则\(f^{(n-m)}(x)=0\)在\([a,b]\)上至少有\(m\)个根. 当\(n=1\)时显然成立。下面用第二类数学归纳法证明： 假设\(n\leq k\)时成立，即对任意\(f(x)\)都有\(f^{(n-m)}(x)=0\)在\([a,b]\)上至少有\(m\)个根 当n=k+1时，要证明\(f^{(k+1-m)}(x)=0\)在\([a,b]\)上至少有\(m\)个根.

若增加的一个根\(x^*\neq x_{initial}(x_{initial}\)为原先的\(k\)个根中的任意一个)：显然成立 若增加的一个根\(x^*\)使原先的根变为重根：则有\(f'(x^*)=0\)，于是\(f'(x)\)有了\(k\)个零点，结论也显然成立 若增加的一个根本来是\(l\)重根（增加后变为了\(l+1\)重根）：原本对于\(f^{(l)}(x)\)，\(l\leq k\)，由假设条件可以得到\(f^{(l)}(x)=0\)在\([a,b]\)上至少有\(k-l\)个根.原先\(f^{(l)}(x^*)\neq 0\)，而增加一个根后\(f^{(l)}(x^*)=0\)，于是\(f^{(l)}(x)=0\)在\([a,b]\)上至少有\(k+1-l\)个根，就证明了加强后的命题。