矢量分析

Vector Triple Product

不引入坐标，试证明：\((\vec{a}\times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}\)

证明：

​ 由于\((\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} \perp (\vec{a}\times \vec{b})\) ，可以得到 \((\vec{a}\times \vec{b}) \times \vec{c}\) 的结果在 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 构成的平面上，可以设:

​ \((\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=X\vec{a}+Y\vec{b}\)

​ 同时，\((\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} \perp \vec{c}\) ，把上式左右同时点乘 \(\vec{c}\) 于是得到：

​ \((X\vec{a}+Y\vec{b})\cdot \vec{c}=0\)

​ \(X\vec{a}\cdot \vec{c}=-Y\vec{b}\cdot \vec{c}\)

​ 这一步的观察比较关键，由于 \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) 的选择是任意的，于是两边的系数项\(X\)，\(Y\)要满足如下条件：

​ \(\begin{cases}X=-C(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\cdot(\vec{b} \cdot \vec{c})\\Y=C(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\cdot(\vec{a} \cdot \vec{c})\end{cases}\)

​ 其中，\(C(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\)是关于 \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) 的系数，对于同一组 \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) ，\(C(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\) 输出唯一的常数.

​ 于是把结果进一步写为：

​ \((\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=-C(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\cdot(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}+C(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\cdot(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}=C(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\cdot((\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a})\)

​ 那么只需要求解 \(C\) 了。特殊地，先考虑 \(\vec{c}=\vec{a}\) 的情形，这时：

​ \((\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{a}=C(\vec{a},\vec{b},\vec{a})\cdot((\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{a})\)

​ 这一步在上式左右两边同时点乘 \(\vec{b}\) ，再利用三矢量的混合积公式，得到了：

​ \((\vec{a}\times \vec{b})\cdot(\vec{a}\times \vec{b})=C(\vec{a},\vec{b},\vec{a})\cdot((\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})-(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b}))\)

​ 现在可以约去两边的模方，得到 \(\sin^2\theta=C(\vec{a},\vec{b},\vec{a})\cdot(1-\cos^2\theta)\) ，其中 \(\theta\) 为 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角。

​ 显然有 \(C(\vec{a},\vec{b},\vec{a})=1\) ，先记下这个结论。

​ 接下来考虑普遍的情形：

​ \(((\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c})\cdot\vec{a}=C(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\cdot((\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{a})-(\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{a}))\)

​ 再使用三矢量的混合积，有

​ \((\vec{a}\times(\vec{a}\times \vec{b}))\cdot\vec{c}=-((\vec{a}\times \vec{b})\times\vec{a})\cdot\vec{c}=-(\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{c})+(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{c})\)

​ 比较两式右侧，可以得到 \(C(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=1\).

​ 最后，我们就成功证明了\((\vec{a}\times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}\) .

一道练习题

用上述方法证明：The Schwarz inequality \(\lvert\vec{a}\cdot\vec{b} \rvert \leq \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b}\rvert\)

证明：

​ \(\lvert{\vec{a}\times\vec{b}}\rvert^2\geq0\iff(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})\geq0\)

​ 使用三矢量的混合积：

\((\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{b}\cdot((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a})=\vec{b}\cdot(\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{a})-\vec{a}(\vec{a}\cdot\vec{b}))=(\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})-(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b})\geq0\)

​ 从而有： \((\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})\geq(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b})\). 即\(\lvert \vec{a}\cdot\vec{b}\rvert \leq\lvert\vec{a}\rvert \lvert \vec{b}\rvert\).